СРЕДНЯЯ МАТЕМАТИКА - ФИБОНАЧЧИ
Итальянский писатель 13-го века Леонардо Пизанский, более известный по прозвищу Фибоначчи, был, пожалуй, самым талантливым западным математиком в средние века. Мало что известно о его жизни, за исключением того, что он был сыном официального таможенника и, будучи ребенком, он путешествовал по Северной Африке со своим отцом, где он узнал о арабский математика. По возвращении в Италию он помог распространить эти знания по всей Европе, тем самым положив начало омоложению в европейской математике, которая в течение многих веков во времена темных веков лежала в основном в состоянии покоя.
В частности, в 1202 году он написал чрезвычайно влиятельную книгу под названием «Liber Abaci» («Книга расчетов»), в которой он продвигал использование индуистско-арабской системы счисления, описывая ее многочисленные преимущества для торговцев и математиков по сравнению с неуклюжей системой из Римский Цифры тогда используются в Европе. Несмотря на очевидные преимущества, внедрение системы в Европе было медленным (это было, в конце концов, во времена крестовых походов против ислама, когда все арабское воспринималось с большим подозрением), а арабские цифры были даже запрещены в городе Флоренция в 1299 году под предлогом, что их легче подделать, чем Римский числительные. Однако в конце концов здравый смысл возобладал, и новая система была принята по всей Европе в 15 веке, что делает Римский Система устарела. В этой работе также впервые использовалась горизонтальная нотация для дробей (хотя после арабский практика размещения дроби слева от целого числа).
Фибоначчи известен прежде всего тем, что он ввел в Европу определенную числовую последовательность, которая с тех пор стала известна как числа Фибоначчи или последовательность Фибоначчи. Он обнаружил последовательность - первую рекурсивную последовательность чисел, известную в Европе - при рассмотрении практической проблемы в Liber Abaci, связанной с ростом гипотетической популяции кроликов на основе идеализированных предположений. Он отметил, что после каждого месячного поколения число пар кроликов увеличивалось с 1 до 2, от 3 до 5, от 8 до 13 и т. Д., И определил, как последовательность прогрессировала, добавив два предыдущих термина (в математических терминах F n = F n -1 + F n -2), последовательность, которая теоретически может продолжаться бесконечно.
Последовательность, которая на самом деле была известна индийский математики начиная с 6-го века, имеет много интересных математических свойств, и многие из последствий и взаимосвязей последовательности были обнаружены только через несколько веков после смерти Фибоначчи. Например, последовательность регенерирует себя несколькими неожиданными способами: каждое третье F-число делится на 2 (F3 = 2), каждое четвертое F-число делится на 3 (F4 = 3), каждое пятое F-число делится на 5 (F5 = 5), каждое шестое F-число делится на 8 (F6 = 8), каждое седьмое F-число делится на 13 (F7 = 13) и т. Д. Также было найдено, что числа последовательности вездесущий в природе: среди многих видов цветковых растений есть ряд лепестков в последовательности Фибоначчи; спиральные расположения ананасов встречаются в 5 и 8 секундах, а в сосновых шишках - в 8 и 13 секундах, а семена подсолнечника - в 21, 34, 55 или даже более высоких сроках в последовательности; и т.п.
В 1750-х годах Роберт Симсон отметил, что отношение каждого слагаемого в последовательности Фибоначчи к предыдущему слагаемому приближается с еще большей точностью, чем выше слагаемое, соотношение приблизительно 1: 1.6180339887 (на самом деле это иррациональное число, равное (1 + √5) ⁄2, который с тех пор был вычислен до тысяч десятичных знаков). Это значение называется «Золотое сечение», также известное как «Золотое сечение», «Золотое сечение», «Божественная пропорция» и т. Д., И обычно обозначается греческой буквой «фи» (или иногда заглавной буквой «Фи»). По сути, две величины находятся в золотом сечении, если отношение суммы величин к большему количеству равно отношению большего количества к меньшему. Золотое сечение само по себе имеет много уникальных свойств, таких как 1⁄φ = φ - 1 (0,618 ...) и φ2 = φ + 1 (2,618 ...), и существует бесчисленное множество примеров того, как его можно найти в природе и в человеческом мире.
Прямоугольник со сторонами в соотношении 1: φ известен как Золотой прямоугольник, и многие художники и архитекторы на протяжении всей истории (начиная с древних Египет а также Греция , но особенно популярный в ренессансном искусстве Леонардо да Винчи и его современников) соразмеряет свои произведения примерно с использованием золотого сечения и золотых прямоугольников, которые по общему мнению считаются изначально эстетически приятными. Дуга, соединяющая противоположные точки всех меньших вложенных золотых прямоугольников, образует логарифмическую спираль, известную как золотая спираль. Золотое сечение и Золотая спираль также могут быть найдены в удивительном количестве случаев в Природе: от раковин до цветов, рогов животных, человеческих тел, штормовых систем и до полных галактик.
Следует помнить, однако, что последовательность Фибоначчи была на самом деле лишь очень незначительным элементом в Liber Abaci - действительно, последовательность получила имя Фибоначчи только в 1877 году, когда Эдуард Лукас решил воздать ему должное, назвав серию после него - и что Сам Фибоначчи не отвечал за выявление каких-либо интересных математических свойств последовательности, ее отношения к золотому сектору, золотым прямоугольникам и спиралям и т. Д.
Тем не менее, влияние книги на средневековую математику неоспоримо, и оно также включает обсуждение ряда других математических проблем, таких как теорема об остатках в Китае, совершенные числа и простые числа, формулы для арифметических рядов и для квадратов пирамидальных чисел, евклидовы геометрические доказательства и исследование одновременных линейных уравнений вдоль линий Диофант и Аль-Караджи. Он также описал метод умножения решетки (или сита) умножения больших чисел, метод, который впервые был применен исламскими математиками, такими как Аль-Хорезми - алгоритмически эквивалентно длинному умножению.
Не была и книга Либера Абачи Фибоначчи, хотя это была его самая важная книга. Его Liber Quadratorum («Книга квадратов»), например, представляет собой книгу по алгебре, опубликованную в 1225 году, в которой содержится утверждение о том, что сейчас называется личностью Фибоначчи - иногда также известной как Brahmagupta личность после гораздо раньше индийский математик, который также пришел к тем же выводам - что произведение двух сумм двух квадратов само по себе является суммой двух квадратов, например (12 + 42) (22 + 72) = 262 + 152 = 302 + 12.